LOGARİTMA

I. ÜSTEL FONKSİYONLAR VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

2^y = 2⁴ eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4)

Buraya kadar anlatılan bilgiler 6^a = 10 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.

A. ÜSTEL FONKSİYONLAR

 olmak üzere,

      

biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.

a > 0 olduğundan f(x) = a^x > 0 olur.

B. LOGARİTMA FONKSİYONU

 olmak üzere,

      

biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

      

şeklinde gösterilir. Buna göre,

       dir.

y = log_ax ifadesinde  sayısına  sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.

C. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

Kural

1 den farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir. Buna göre,

Kural

Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre,

Kural

Kural

Kural

Kural

D. ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) = log_ax fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logx biçiminde gösterilir.

      

1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.

1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir.

Kural

x > 1 olmak üzere, x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının bir eksiğine eşittir.   0 < y < 1 olmak üzere, y nin ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logy nin eşitinin tam kısmı –(K – 1) dir.

E. DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) = log_ax fonksiyonunda taban

ℓ = 2,718281828459045235360287471352... alınırsa (ℓ sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,

      

İşlemlerde genellikle log_ex yerine lnx ifadesi kullanılır.

II. LOGARİTMALI DENKLEMLER

Özellik

a sayısı 1 sayısından farklı bir pozitif sayı olmak üzere, tabanı a olan logaritmalı denklem,  logaf(x) = b ise f(x) = ab dir.  logaf(x) = logag(x) ise f(x) = g(x) dir. Logaritmalı denklemleri bu özellikleri kullanarak çözeriz. Logaritmanın tanımından, f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır.

III. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

Kural

logaf(x) in işareti a ya bağlı olduğundan eşitsizlik çözümlerinde aşağıdaki bilgileri kullanırız.

Pİ SAYISINDA SAKLI DOĞUM GÜNÜNÜZ

Bildiğiniz gibi pi sayısı bir irrasyonel sayıdır yani virgülden (3,14…….) sonraki basamağın sınırı yoktur. Sınırı olmayan bu sayı dizisi kendini hiç bir zaman tekrar etmediğinden, her defasında farklı sayı dizileri gelir.
İste bu noktada doğum tarihinizin pi sayısının içinde gizlenmiş olabileceğini biliyor muydunuz.?

Doğum tarihinizin pi sayısının kaçıncı basamağına denk geldiğini bulmanızı sağlayan bir site var.

Siteye ulaşmak için  www.angio.net/pi/bigpi.cgi

Doğum tarihinizi pi sayısı içinde nasıl bulacağınızı açıklayan ekteki resmi inceleyin. Doğum tarihinizi 01011981 şeklinde değil de 111981 olarak girerseniz pi sayısının basamakları içinde bulma olasılığınız artar. Umarım doğum tarihiniz Pi sayısının bilinen 1.2 Trilyon basamağı içinde vardır.

pi şarkısı

AYAKKABI NUMARASIYLA YAŞ BULMA

İlginç bir aritmetik oyunu ayakkabı numarası ile yaş bulma. Metot kolay fakat sonuç şaşırtıcı. Arkadaşınıza hesap makinesini verin ve şu komutları yenine getirmesini söyleyin:

Ayakkabı numaranı yaz..

5 ile çarp..

50 ekle..

20 ile çarp..

1008 ekle..

Bulduğun sayıdan doğum tarihini çıkar..

Çıkan sayıyı söyle..

Arkadaşınız bu komutları yerine getirdiğinde hesap makinesinde abcd türü bir sayı görecektir. Bu sayının abolan ilk kısmı arkadaşınızın ayakkabı numarası,ikinci kısmı olan cd ise yaşını verecektir!..

Peki nasıl?

Şimdi söylenenlerin denklemini kuralım.

Arkadaşınızın ayakkabı numarası ab olsun.

Denklem:

(5. ab + 50) . 20 + 1008 – dört basamaklı doğum yılı

= 100. ab + 1000 + 1008 – dört basamaklı doğum yılı

= 100. ab + 2008 – dört basamaklı doğum yılı = abcd

Yukarıda eklenen 1008 sayısı yıllara göre değişmelidir.

Örnekte kullanılan 1008,2008 yılı içindir. Bu sayı her yıl bir arttırılmalıdır.

Matematik Oyunları / Ahmet Arduç

Örneğin;Benim ayakkabı numaram 37.  

(5.37+50).20+1013-1994

=3719(ilk iki hane ayakkabı numaram,son iki hane yaşımdır)

ÇÖL KARINCASININ MATEMATİK SIRRI

  Amerika’nın ulusal radyo kanalı NPR’da hafta sonu programları yapan Stanford Üniversitesi’nden matematik profesörü Keith Devlin, Matematik İçgüdüsü adlı yeni kitabında, bitkilerdeki matematiğe değiniyor; hayvanlardaki bazı ilginç yeteneklerden söz ediyor. Devlin, en gözde hayvan yeteneğinin Tunus çöl karıncasınınki (Cataglyphis fortis) olduğunu belirtiyor. Bu minik hayvanın özelliği, çölde yiyecek bir şeyler bulduktan sonra yuvasından çok uzaklaşmış olsa bile dolambaçlı yollara sapmadan doğruca yuvasına gidebilmesi. Çok sıcak ortamda kimyasallar hızla buharlaşıyor. Peki ama çöl karıncası başka karıncalar gibi kimyasal izleri takip etmiyorsa çölde yolunu nasıl buluyor?Ulm Üniversitesi’nden Harald Wolf ve ekibinin kısa bir süre önce Science dergisinde yayımlanan araştırmalarına göre, karıncanın ‘adımsayarı’ var. Profesör Harald Wolf, bulguların, karıncaların attıkları adımların hesabını tutan ve dönüş yolunda yeniden ayarlanan bir iç sistemleri olduğunu gösterdiğini söylüyor. Profesör Keith Devlin de kendisiyle yaptığımız röportajda bize şunları söyledi: ‘Bu karıncalar yollarını o kadar iyi buluyorlar ki, bunu yapabilmelerinin tek yolu adımlarının hesabının tutulması.

‘Devlin’in söz ettiği bir diğer ilginç yetenek de köpeklerinki. Hope College’den matematikçi Tim Pennings 2003 yılında The College Mathematics Journal’da yayımlanan makalesiyle, köpeği Elvis’in matematiksel analiz (calculus) yapıyor gibi göründüğünü dünyaya duyurmuştu. Suya atılan tenis topunun peşine düşen Elvis, çoğu zaman önce kumsal boyunca biraz koşup, daha sonra suya dalarak en kısa sürede topa ulaşıyordu. Bir başka deyişle, suda farklı, karada farklı hızla ilerleyebilen köpek, A noktasından B noktasına en kısa sürede ulaşabilmesi için hangi noktada suya girmesi gerekiyorsa, o noktada suya atlıyordu. Profesör Keith Devlin, böyle bir problemi kâğıt üstünde çözmek için matematiksel analiz yapmak gerektiğini ve bunun zaman alacağını belirtiyor. Bu yıl, College Mathematics Journal’da yayımlanan bir çalışma daha, köpeklerin topu getirmek için en uygun yolu seçtiğini gösterdi.  

 Astrofizikçi Profesör Mario Livio, aralarında Einstein, Eugene Wigner ve James Jeans’in de bulunduğu birçok önemli fizikçinin, matematiğin evreni tanımlamada çok etkin olduğunu belirttiklerini söylüyor. Old Dominion Üniversitesi’nden matematik profesörü John A. Adam da Doğadaki Matematik adlı kitabında gökkuşaklarından nehir kıvrımlarına kadar doğadaki birçok olgunun matematiksel olarak ifade edilebileceğini belirtiyor. Profesör Ian Stewart ise doğadaki güzelliğin sayılarla ilişkisine dikkat çekiyor ve güzellik anlayışımızın matematikle bağlantılı olduğunu söylüyor. Bristol Üniversitesi’nden araştırmacılar gökyüzünde algılayamadığımız polarize ışık motiflerini açıklayan bir matematik formülü bulduklarında Oxford Üniversitesi’nden Marcus du Sautoy’un şu sözlerine işaret etmişlerdi: ‘Estetik ve güzellik anlayışına sahip olmak bilim insanı olmanın önemli bir parçası. Estetik gözü olan bilim insanları genelde doğanın işleyişini keşfetmek için daha donanımlı olurlar.

OKYANUS DALGALARININ MATEMATİĞİ

Okyanus dalgalarının kimi zaman ibik, kimi zaman sorguç gibi olan, kabaran, yuvarlanan ve kıyılarda kırılan muhteşem biçimleri, deniz yaratıklarını akla getirir. Onları tanımlamak için yüzyıllar boyunca ayrıntılı, karmaşık matematiksel denklemler geliştirilmiş ve özellikleri araştırılmıştır. Dalgaların değişik biçimlerini, boylarını ve özelliklerini açıklayan matematiği anlayabilmemiz için önce dalgaya ilişkin genel bilgilere bir göz atalım.

Eğer ipin iki ucundan tutan iki kişi, ipi dalgalandırırsa, dalganın ip boyunca hareketini görürüz. İp, iki kişiden birine daha yakınlaşmaz. İki insan arasında iletilen enerjidir. Böylece, dalgaların bir ortamda enerji taşıyan hareketler olduğu görülür. Verilen örnekte, enerjiyi taşıyan ortam iptir. Bu ortam, su (okyanus dalgaları), Dünya(yersarsıntısı dalgaları), elektromanyetik alan(radyo dalgaları) ya da hava(ses dalgaları) olabilir. Dalga, ortamın dengesini bozan herhangi bir çalkantı nedeniyle oluşur.

Okyanus dalgaları da suyun(ortamın) rüzgâr, deprem ya da bir cisim(hareket eden bir gemi) ve/ ya da Ay’ın, Güneş’in yerçekimi(gelgitler) tarafından tedirgin edilmesiyle oluşur. Okyanus dalgaları suyun yüzeyinde hareket eder. Eğer birçok tedirginlik kaynağı varsa, dalgalanma düzensizmiş gibi görünür.

1800′lerde okyanus dalgalarının matematiğine ilişkin pek çok araştırma yapıldı. Deniz gözlemleri ve denetlenebilir laboratuar koşullarında yapılan deneyler, bilim insanlarının ilginç sonuçlara ulaşmalarını sağladı. Bu tür çalışmalar 1802′de Çekoslovakya’da Fransız Gertner’in ilk dalga teorisini bulmasıyla başladı. Gertner gözlemlerini yazarken dalgadaki su zerrelerinin dairesel bir biçimde hareket ettiğini belirtti. Dalganın tepesinde su dalga yönünde; en çukur yerinde ise aksi yönde hareket eder. Suyun yüzeyinde her su zerresi, ilk durumuna gelmeden önce, dairesel bir hareket gerçekleştirir. Bu dairenin çapı, dalganın tepesinden en çukur yerine kadar olan dalga yüksekliğine eşittir. Suyun derinliklerinde de su zerrelerinin dairesel hareketleri sürer; ama su derinleştikçe daire küçülür. Dalga boyunun 1/9′u derinliğindeki bir yerde, dairenin çapı, suyun yüzeyindeki çapının yaklaşık yarısı kadardır.

Dalgalar, dairesel olarak hareket eden su zerreleriyle ilgilidir. Sinüs eğrisi(sinüzoidal) ve çevrim eğrisinin(sikloit ya da teker eğrisi) biçimleri de, eksenleri üzerinde dönen dairelere bağlı olduğu için, bu matematiksel eğriler ve denklemler, okyanus dalgalarını tanımlamak amacıyla kullanılır. Ancak, okyanus dalgalarının sinüs eğrisi ya da başka bir saf matematiksel eğriyle tam tamamına çakışmadığı da keşfedildi. Suyun derinliği, rüzgarın şiddeti ve gelgitler, dalgaları tanımlanırken göz önünde bulundurulması gereken değişkenlerden bazılarıdır. Günümüzde okyanus dalgaları, olasılık teorisi ve istatiksel yöntemler kullanılarak incelenmektedir. Çok sayıda küçük dalga incelenerek, bu veriler bazı tahminlere dönüştürülmüştür.

Okyanus dalgalarının bazı ilginç matematiksel özellikleri şunlardır:

• 1) Dalga boyu, dalga periyoduna bağlıdır.
• 2) Dalga yüksekliği, dalga boyuna ya da periyoduna bağlı değildir( dalga boyu ve periyodunun, çok az da olsa, etkili olduğu bazı durumlar vardır).
• 3) Dalga, tepesindeki açı 120 dereceyi aştığında kırılır ve enerjisinin çoğu tükenir.
• 4) Dalganın ne zaman kırılacağını belirlemenin bir başka yolu da yüksekliği ile boyunu karşılaştırmaktadır; aralarındaki oran 1/7′yi aşarsa,dalga kırılır.

Kaynak: Daha eğlenceli matematik

              Yazar: Theoni Pappas – Çeviren:Deniz Mengüç

MÜZİKTEKİ MATEMATİKSEL GİZEM

Pisagor ya da Pythagoras, M.Ö. 580 – M.Ö. 500 tarihleri arasında yaşamış olan İyonlu filozof, matematikçi ve Pisagorculuk olarak bilinen akımın kurucusudur.
En iyi bilinen önermesi; adıyla anılan Pisagor önermesidir. “Sayıların babası” olarak bilinir.
Pisagor, her şeyin matematikle ilgili olduğuna; sayıların nihai gerçek olduğuna; matematik aracılığıyla her şeyin tahmin edilebileceğine ve ölçülebileceğine inanır. Müzik notalarının bulucusu ve kendisini filozof (????-?????), yani bilgeliğin dostu olarak adlandıran ilk kişidir.

Pisagor her ne kadar meşhur dik üçgen teoremi ile tanınsa da, günümüz bilminin ulaştığı seviye de çok büyük bir paya sahiptir. Pisagor kendi devrine kadar gelişmiş bütün çalışmaları bir disiplin altında toplamış, geometri, aritmetik, astronomi, coğrafya, müzik ve tabiat bilgisi olarak farklı bilim dallarına ayırmış ve bu nedenle "bilgi seven"anlamına gelen "filozof" sözcüğünü ilk olarak o kullanmıştır. Tüm bunların yanında müzikteki matematiksel gizemi keşfederek notaları yazıya dökmenin ilk temelini atılmıştır. ( M.Ö. 530-450)Tüm yaşamını bilime ve insanlığa adayan Pisagor, evrenin sayılar ve aralarındaki ilişkilere göre kurulduğuna inanırdı. Bu düşüncesine uygun olarak müziğin içindeki gizli matematiği bir demirci dükkanının önünden geçerken, demirci ustasının, demir döverken kullandığı aletlere göre değişik sesler çıkarmasının ilgisini çekmesi üzerine, dükkana kapanarak ustaya çeşitli aletler kullandırmış, çıkan sesleri incelemiş ve kayıtlar almış alarak notaları bulduğu rivayet edile gelmiştir.

Batı müziği 9. yüzyılın başına kadar notalamadan habersizdi. Eserler kulak yoluyla kuşaktan kuşağa aktarılıyor, bu arada değişime uğruyor, zamanla unutulabiliyordu. 9. yüzyılın ikinci yarısında ilk notalama sistemi ortaya çıktı. Arezzo´lu Guido´nun (Gui d´Arezzo) notalama sisteminin seslerin yüksekliğini kesin olarak belirtmeye başlamasıyla büyük bir ilerleme kaydedildi. 11. yüzyılda notaların üzerine dizildiği beş çizgiden oluşan "porte"nin kullanılmasıyla notaların yüksekliği (do, re, mi,.) ve süresi (birlik, ikilik, dörtlük,.) kesin biçimde belirlenebilir hale geldi.
Aslında müziğin dört parametresi vardır: Yükseklik, süre, şiddet ve tını. Bunlardan ilk ikisi zamanla genel kabul gören bir takım işaretler sayesinde kağıt üzerine dökülebilmiş, şiddet ve tını ise notanın yanında ek kelimelerle belirtilmişler ve kısmen de yoruma açık bırakılmışlardır. Çeşitli sesleri belirtmek ve bunların birbirlerine karışmasını önlemek için sesleri temsil eden notalara özel isimler verildi. Do, re, mi, fa, sol, la, si. İngilizce´de ve Almanca´da ise notalar harflerle gösterildi(C=do, D=re, E=mi, F=fa, G=sol, A=la, B=si-ing.-, H=si-alm.-).

Nota isimlerinden "do"nun önceki ismi "ut" idi. Sesli harfle başlayan bu isim, notaları sırayla söylerken tutukluk yaptırdığından 12. yüzyılda "do"olarak değiştirildi. Almanya ve bazı ülkelerde "ut" hala kullanılır. "Si" hariç diğer notaların isim babası Gui d?Arezzo?dur. Arezzo bu adları Aziz lohannes Battista ilahesindeki mısraların birinci hecelerinden alarak takmıştır. Yedinci notanın adı uzun zaman "B" olarak kalmış, sonradan 13. yüzyılda Sanete lohannes kelimelerinin baş harflerinden meydana gelen "si" adını almıştır.

Notalamanın keşfi ve gelişimi müzik pratiğine olağanüstü bir gelişme ortamı yaratmıştır. Notalama, icracıyı ezberden kurtararak hem müzik parçalarının uzamasına hem de çeşitli dönemlere ve ülkelere ait notalanmış eserlerin katılmasıyla repertuarın zenginleşmesine ve çeşitlenmesine imkan vermiştir. Nota sayesinde bir müzisyen bilmediği bir müzik parçasını icra edebilmek için tek başına yeterli bir hale gelmiştir.

Raffael’in bir tablosunda Pisagor Yunanistan’da, Ege Denizi’nde, Dilek Yarımadası’nın karşısında bir ada olan Sisam adasında doğmuş… Yüzük taşı yapımcısı Mnesarkhos’un oğlu idi. Pherekydes’in öğrencisi oldu, onun ölümünden sonra Hermodamas’ın öğrencisi oldu. Yurdundan ayrılarak Mısır’a geldi. Antiphon’un “Erdemde Sivrilenler Üzerine” adlı eserinde söylendiğine göre, Mısırlıların dilini öğrendi. Daha sonra Sisam adasına geri döndüğünde yurdunun tiran Polykrates’in baskısı altında olduğunu görünce İtalya’nın güneyindeki bir Yunan kenti olan Kroton’a gitti. Burada efsanevi şarkıcı Orpheus’un kurduğu Orfeusçuluğun etkisinde gizli dinsel bir topluluk kurdu. Kroton’da kurduğu bu topluluk siyasi bir rol de üstlenmiştir. Topluluktakiler kendilerini matematikçiler (mathematikhoi) olarak adlandırıyorlardı. Bunlar okulda yaşıyorlardı ve kişisel hiçbir şeye sahip değillerdi. Ruh göçü öğretisi etkisinde et yemiyorlardı. Komşu bölgelerde yaşayan öğrencilerin de okula katılmalarına izin veriliyordu. Bu öğrenciler ise dinleyiciler (akousmatikhoi) olarak adlandırılıyordu. Matematikçilerin tersine dinleyicilerin et yemelerine ve kendi eşyalarına sahip olmalarına izin vardı.

Eserleri
Bildiğimiz kadarıyla Pisagor, öğretilerini sözle yaymıştır. Onunla ve öğretileriyle ilgili bilgileri öğrencilerinin yazılarından alıyoruz. Fakat Diogenes Laertios’un eserinde belirttiği üzere Pisagor’un da eserleri vardır:

“Bazıları Pythagoras’ın bir tane dahi yazılı eser bırakmadığını söylerler, ama bu doğru değildir. Doğa düşünürü Herakleitos neredeyse avaz avaz bağırarak şöyle diyor: “Mnesarkhos oğlu Pythagoras araştırma çalışmalarında bütün insanları aşmıştır ve bu yazılarından seçme yaparak, büyük bilgi ve kurnazlığa dayalı kendi bilgeliğini oluşturmuştur.” Böyle söylüyor, çünkü Pythagoras Doğa adlı eserine şu sözle başlıyor: “Soluduğum hava adına, içtiğim su adına, bu eserimle ilgili herhangi bir yergiye katlanamayacağım.”

Pisagor´un bilim ve sanata katkıları 
Matematik ve astronomiye katkıları olmuştur.
Pisagor bağıntısı adıyla bilinen bağıntının kaynağı Pisagor?dur.
Müziğin matematiksel oranlara indirgenebileceğini ortaya koymuş ve diatonik skalayı keşfetmiştir.
Günümüzde bazı bilim adamlarının çok sıcak baktığı "kürelerin müziği" adıyla bilinen "kürelerin armonisi"önermesini ortaya atmıştır.
Müzikle tedavi çalışmalarıyla tıbba katkıda bulunmuştur.
Bir iddiaya göre, Dünya?nın yuvarlak olduğunu ve ikili bir hareket içinde olduğunu biliyordu ve bunları yalnızca inisiyelerine açıklamıştı ki, bu açıklamaları, ezoterik doktrin yoluyla kuşaktan kuşağa aktarılarak bu bilgilerin kabulünde rol oynamıştır.

Pisagor’dan Etkilenenler 
Platon
Platon’a olan etkisi R.M.Hare’e göre üç konudadır:
Platon okulu, Pisagor’un Kroton’da kurduğu okullarla benzerlik göstermektedir.
Platon muhtemelen matematiğin felsefi düşünmeye güvenli bir temel olduğu düşüncesini Pisagor’dan almıştır.
Platon ve Pisagor ruha giden gizemli bir yol ve onun maddesel dünyadaki yeri düşüncesini paylaşmışlardır. Bu her ikisinin de Orfeusçuluktan etkilendiğini gösterir.
Platon’un üçüncü kuşak Pisagorcular’dan geometriye birçok katkısı olan ve Euklides’in “Öğeler” adlı eserinde aksettirdiği Arkhytas’tan etkilendiği açıktır.

MATEMATİK ŞİİRLERİ

Sevgilim sevgilim ecza dolabının raflarında bekle beni bir tüp diş macunu, bir şişe siyanür ve zambak kokulu sabunlar sevgilim Büyük Millet Meclisi'nde bekle beni kürsüdeki yerimi ısıt Güzel Konuşma Dersi vereceğim hiç ağzımı açmadan sevgilim iki bilinmeyenli bir denklemde bekle beni matematik tanrısının sonsuzluk evi ve akıl hastanesinin sisli bahçesi sevgilim bir kedi pençesinde bekle beni yüreğinde deltalı tırmık izleri ve karikatür saraylar sevgilim polis otolarının fırıl mavi ışığında bekle beni sakallı kaldırımlar, guguklu saat suçları ve tarçın kokulu şizofren sevgilim Çocuk Kalmışlar Derneği'nde bekle beni ' hepsi pekiyi ' süt dişlerin, korsan gemilerin ve altını ıslatmış bez bebeğin sevgilim bu şiiirin çıkışında bekle beni saat kulemizi geçenlerde yıktılar Akgün Akova Kerrat Cetveli Benim suçum yok! Bir çocuktan bir çocuğa geçen su çiçeği gibi bulaştın bana! Kalbimi kucağıma aldım, kalbim, kapanmayan bir ahşap çekmece sanki yarısı içerde, yarısı dışarda boşlukta asılı kaldı dudaklarına! Bir marangoz ustasıydım adeta bir ayağı mutlaka kısa masa yapan! Bir elimde çekiç, bir elimde çivi kendimi bir resim gibi çakacağım insanı aradım yıllarca! Kim bilir, belki de denize indirilen gemiye çarpacak şampanya şişesiydim hayatında! Gemi indirildi, şampanya şişesi çarptı Sadece gözyaşlarının köpükleri bulaştı ağır ağır dalgalara! Hadi diyelim ki, ilkokul üç talebesinin zorlandığı matematik işlemiydim yedi kere sekiz'in hiç bir boka yaramadığı bir hesap gibi hatırlandım aslında!   Küçük İskender Türev tanem, birtanem bir sigma işareti kadar kıvrak bir Pİ sayısı kadar sonsuzsun sevgilim. Sana olan sevgim limitlerin sonsuzuğuna ulaşıyor. Bir bakışın kalbimde matris kadar derin etkiler yapıyor. Kalem gibi kaşların, trigonometri gibi karışık saçların, tebeşir kokusu gibi burnumda tütüyor.  Çarpanlara ayrılmayan denklemler gibi nazlanma. Senden mektup almak inan integral almaktan daha zor. Bilinmeyenlerimiz farklı olsa bile polinomlar gibiyiz. Eğer böyle devam ederse seni keşfedilmemiş dizi kuralları ile izleyeceğim. Seninle daire olalım. Merkezde ben, etrafımda eşit uzaklıklarda sen. Nereye bakarsam seni göreyim. Üzüntülerimiz teğet, sevinçlerimiz kiriş olsun. Birbirimize o kadar yakın olalım ki, yarıçaplarımızın limiti sıfıra yaklaşsın. Şu anda y=ax2+bx+c parabolünün iki ayrı kolu isek de bir gün tepe noktasında buluşacağız. Sana bir sinx eğrisi gibi sürekli “k” sabiti kadar bağlıyım. Hiçbir parantez bizi ayıramaz. Matematik Öğretmeni Lisede Matematik öğretmeni Vural hoca ilk kez geldiğinde sınıfa Başladı anlatmaya Önce dört işlem Hep bilgi toplayın Gereksiz olanları Bireysel olanları çıkarın Nalıncı keseri kullanmayın  Başarınızda katkısı olanları unutmayın Gördüğünüz güzellikleri, iyiliklerle çarpın Üslü sayı olana kadar Sonsuz işareti çıkana kadar Hesap makinesi durana kadar İşleme devam edin Türevler çok önemlidir İyiyi türetin, türesin Kötülüğün büyüklüğünden ürkmeyin Alın kare kökünü Bulun özünü, sıfırlayın gitsin Sıfır bazen çokluktur İyinin sonsuzluk yoludur Sadeleştirmek iyidir Sorunların gerçeğini gösterir Sağlama yapmayı asla bırakma Her şey göründüğü gibi mi acaba Matematik sorgulamadır Düşün taşın, aklını kullan Her şeyde nedeni niçini Bul gerçek sebebi Papağanlık yapma Her sunulanı olduğu gibi alma Logaritmayı geometriyi öğren Yamuğun çevresini iyi hesap et, Aldanma İçine dalma Geliştir kendini daire etrafında At gözlüklü dolap beygiri gibi, dolanma Üçgeni de bil ama Eleştirilerinde sivri kenarlı olma Kendini yargılamada, çokgenler olsun Doğru seni Böyle bulursun İntegral türevin tersidir Şimdiden, geriye gitmedir Hatalarının integralini çok katlı almalısın Nefsin integrali az katlı olsun Egon yok olsun Öğrenciler şaşkın, kalemleri elinde Boş sayfalı kareli defterleri açık önlerinde Çocukların bazıları alaylı güldü Bu hoca üşütmüş ya İyi iyi bol gırgır geçeriz Günümüzü gün ederiz. Bazıları şaşaladı Öğretmenin söylediklerini Anlamaya çalıştı Lise bitti dağıldılar dört yana Alay edenler düzene uydular Okusalar da okumasalar da Rahat ettiler hayat yollarında Vural hocayı dinleyenler Okusalar da okumasalar da Yollarda ki engelleri geçememekteler Gördüm Vural hocayı geçen gün Koştum hocam ben Aynur 669 Hoş beş ettik, ne yaptık neler ettik Hocam dedim işte böyle Sizi dinleyenler, kaldılar hayat dersinde Matematikten aldığımız yüzler boşaymış meğer Başımı okşadı, ah evladım İnşallah son karneniz olur pekiyi Benden sadece söylemesi Önce ellerini öptüm Sonra pofuduk yanaklarını Gözüm kaydı pırtık elbiselerine Kendimin iki dirhem bir çekirdek halime Yüzümün rengi karıştı, kırmızı ceketime Yaptık yapacağımızı, ona göre rahatımız bile bathsızlıktı Çocukluğumuza ver Okulun merdiven korkuluklarından kayarken İtiş kakış, bizi Gene görmemezlikten duymamazlıktan geliver Kim olgun, kim gelişmiş dersini veriver. Biz adam olmayız ama, hakkını helal ediver Aynur Baydar  Sevgimi matematikle anla Sensizliğin karesini aldım önce Sana çarptım çıkan sonucu Sonra hüznüme böldüm Sevdamı ekledim üzerine Birde baktım ki her yanımda sen Nasıl sevindim o an bir bilsen Vur, öldür, kır beni, Parçalara ayır istersen Topla parçalarımı Sonra sana böl İşine nasıl gelirse işte Sonucu getir Yüreğimle çarp istersen Sevdamla topla yalnızlığımdan çıkar Gülüşünün karekökünü bul Tüm asal sayıları üzerime sür... Tamam Beni sevmene ihtimal yok ama Anlatmaya çalışıyorum işte Sana olan sevgimi sayılarla Ben anlatamadım belki de Aşkımı sana edebiyatla Bari sen Matematikle anla... Mehmet Çevik (Hazerfen)  SEVGİLİ’YE ŞİİR X kare gözlü polinom sevgilim Beni çarpanlarıma ayırıp gitme Önünde 180 derece eğilmiş yalvarıyorum Sinüsümü kosinüsüne çarp ama alfamı alıp gitme  Sana binom açılımı gibi açılmak isterdim Fakat tanjantımdan öyle bir vurdun ki Havası alınmış silindire döndüm Bırak bu logaritmik ayakları Ben… Senin gibi ne integraller çözdüm Benim elimden ne prizmalar geçti Türevi alınmış sevgilim Senin… Senin kareköküne muhtaç değilim

AMİRAL BATTI OYUNUNUN KOORDİNAT SİSTEMİ İLE İLİŞKİSİ

  Nasıl oynanır? 
  Amiral battı oyunu iki kişi ile oynanır. Her oyuncuda bir adet atış kartı ve bir adet filo kartı bulunur. Oyuncular filo kartına kendi gemi ve mayınlarını yerleştirir. atış kartına ise rakibinin filo kartına yaptığı atışları işaretler. Herkes sırayla bir atış yapar, atışı gemilerden birine isabet eden oyuncunun tekrar atış yapma hakkı vardır. Atışı mayına denk gelen oyuncu bir el bekleme cezası alır, yani cezalı duruma düşen oyuncunun rakibi atışı boşa gelse de bir el tekrar atış yapar. Bu şekilde atışlar yaparak en büyük gemiyi yani amirali batırmaya çalışılır. Oyunun her hangi bir anında rakibin amiralini batıran oyuncu oyunu kazanır. 
  Atış nasıl yapılır? 

 Atış yaparken rakibinin filo kartındaki gemileri tahminde bulunarak koordinat noktalarını belirler. Örneğin; (3,-4) noktasını işaret eder burada 3 sayısı x ekseninden(yatay eksen) -4 sayısı y ekseninden (düşey eksen) belirlenip kesişimler işaretlenir. 
  Örnek oyun: (Yukarıdaki görsel örnek oyuna aittir.)
  Ahmet ve Elif amiral battı oynuyorlar. 
  Aşağıdaki kartlar Ahmet in kartlarıdır. Ahmet Elif in kartına yapmış olduğu atışları atış kartına elifin kendi gemileri için yaptığı atışları filo kartına işaretleyecektir. Ahmet kendi yaptığı atışları takip edebilmek için atış kartına bazı kodlar yazmaktadır yaptığı boş atışlar için X rakibinin gemilerine isabet eden atışlar için D harfini kullanmakta böylece rakibinin gemilerinin yerini tahmin etmeye çalışmaktadır. 
  Ahmet: (3,-4) noktasına atış yaptım. 
  Elif: Atış yaptığın yer boş. (Ahmet’in atış yaptığı yer boş olduğundan sıra Elif’e geçer) 
  Elif: (-3,2) noktasına atış yaptım. 
  Ahmet: Vuruldum (Ahmet’in gemisi vurulduğu için Elif bir el daha atış yapar) 
  Elif: (-3,3) noktasına atış yaptım. 
  Ahmet: atış yaptığın yer boş. 
  Ahmet: (-4,2) noktasına atış yaptım. 
  Elif: vuruldum. (Elif’in gemisi vurulduğu için Ahmet bir el daha atış yapar) 

  Amiral battı oyununun orjinali:

  
  Amiral battı oyununun orijinal versiyonunda bir noktanın koordinatları bir harf ve bir rakam  (örneğin: D3, A9 gibi) olarak söylenir, bu şekilde hedef alınan kare belirtilir.  

 Koordinat sisteminde de benzer şekilde bir noktanın koordinatları x ekseninden bir sayı ve y ekseninden bir sayı (x,y) olarak sıralı ikili şeklinde ifade edilir. Bu benzerlik satranç oyununda da vardır.

Kaynak: http://www.matematiketkinliklerim.com/2012/12/amiral-batt-oyununun-koordinat-sistemi.html#ixzz2SWDqI3nl

PASCAL ÜÇGENİ

                                                PASCAL ÜÇGENİ

Pascal üçgenindeki sayılar kendi üstündeki sayıların toplanarak yazılmasıyla elde edilir. Bu arada her satırın başına ve sonuna 1 yazılır.
Hakkında:
Pascal üçgeni olarak bilinen, bu üçgen ile ilgili Pascal’ dan öncede çalışmalar yapılmıştır. Çinli bilim adamlarından Pingala, Müslüman bilim adamlarından Ömer Hayyam gibi bir çok bilgin bu üçgen üzerinde incelemeler yapmıştır. Blaise Pascal ise kendinden önceki çalışmaları toplayıp farklı alanlarda ki uygulamalarını keşfetmiştir. Uygulama alanları içinde Olasılık, Alt küme hesabı, İki terimli bir harfli ifadenin kuvvetlerinin hesabı gibi farklı kullanım alanları vardır.
Bazılarını inceleyelim;
Altküme sayısı hesaplarken Pascal üçgenini kullanabilirsiniz.
B={a,b,c,d} B kümesi 4 elemanlıdır. [s(B)=4] Bu kümenin alt kümeleri Pascal üçgeninin 1..4..6..4..1 dizilişinde gizlidir.

Şöyle ki; B kümesinin
0 Elemanlı alt kümelerinin sayısı: 1 dir.
1 Elemanlı alt kümelerinin sayısı: 4 dür.
2 Elemanlı alt kümelerinin sayısı: 6 dır.
3 Elemanlı alt kümelerinin sayısı: 4 dür.
4 Elemanlı alt kümelerinin sayısı: 1 dir.

İki terimli bir harfli ifadenin kuvvetlerinin açılımındaki kat sayılar Pascal üçgeninde gizlidir.
Örneğin:

Bunun dışında faklı birkaç bilgi verelim.

Pembe çizgi üzerindeki sayılar 0 hariç doğal sayılardır.
Mavi çizgi üzerindeki sayılar Üçgen sayılardır. (Çokgensel sayılara bakın)
Aynı yöndeki sayıların toplamı(yeşil çizgileri takip edin), seçtiğimiz son sayının ters yönündeki sayıya eşittir. (Örnek: 1+2+3+4+5+6+7=28, 1+4+10+20+35=70 gibi)
Pascal üçgenindeki her satırın toplamı 2 nin kuvvetlerini verir.

Kaynak: http://www.matematiketkinliklerim.com/2007/11/pascal-geni-pascal-triangle.html#ixzz2SzoSxngA

PARADOKSLAR

                                                           PARADOKSLAR

1 Kg = 1 Ton ?                    

1 kg = 1000 gr............. (1)

2 kg = 2000 gr............. (2)

(1) ve (2) taraf tarafa çarpılırsa:

2 kg = 2.000.000 gr

2 kg = 2.000 kg.............( 2.000.000 gr = 2.000 kg )

2 kg = 2 ton....................( 2.000 kg = 2 ton ).  Dolayısı ile,

1 kg = 1 ton

Sizce yanlışlık nerde ?

x = -1 Yanlış Nerde ?                      

Buradaki yanlışı bulabilirmisiniz??

x = 1+2+4+8+16+....... ise x = ?

x-1 = 2+4+8+16+...

x-1 = 2(1+2+4+8+16+.....)

x-1 = 2x

x = -1

1=-1 İnanmıyorsanız izleyin ve görün